立体角

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立体角

在谈立体角之前，我们先来复习一下球坐标及其面积分。

球面坐标系及积分

球坐标系

sphere1

如上图所示，就是一个典型的球坐标系统，在坐标系中的每一点都可以使用(ρ,ϕ,θ)来描述，与笛卡尔坐标系之间的转化如下

$$ x=\rho\sin\phi\cos\theta\\ y=\rho\sin\phi\sin\theta\\ z=\cos\phi $$

上式就是球坐标和笛卡尔坐标之间的转化，这个转化很容从图上看出来。

球面积分

sphere2

从上图可以看出，面积的微元，长为ρdϕ，因为这个方向上的长度为ρϕ，所以微元为ρdϕ；宽为ρsin ϕdθ，这是因为首先要投影到xy平面，在这个平面上的长度为ρsin ϕ，从图上可以看出，这个长度也就是宽，所以微元的宽为ρsin ϕdϕ。所以球面积分的微元面积ρ2sin ϕdϕdθ​。

  • 来看几个例子

    1. 球的表面积计算

      shpere4

      表面积的求法，就是对于微元而言，ϕ的取值为0到2π，θ的取值也是0到2π。ρ就是球的半径。 所以微元dS = ρ2sin ϕdϕdθ。表面积的求法如下： S = ∫02πdθ∫02πρ2sin ϕdϕ  → 2πρ2(−cosθ)|02π = 4πρ2​，这就是很熟悉的圆表面积计算公式了。S圆 = 4πr2​，这个公式应该在高中时候就经常使用了。

    2. 球帽表面积的计算 shpere5

    蓝色部分就叫做球帽，计算这一部分的表面积。首先面积分的微元跟之前的一样，为dS = ρ2sin θϕdϕdθ，不过这个图上的角度标的不太一样，那么改变一下，把xy平面的角度设为ϕ，把与z轴之间的夹角设为α。很容易从图上看出，ϕ ∈ [0,2ϕ], α ∈ [0,θ]，这边要注意这个α，它的取值是从z轴为0，到xy平面为$\frac{\pi}{2}$。所以其表面积为

S = ∫02πdϕ∫0θr2sin θdθ ​ $\rightarrow 2\pi r^2(-\cos\theta)|^{\theta}_0=2\pi r^2(1-\cos\theta)=2\pi r^2(1-\frac{r-h}{r})=2\pi rh​$，如果h = r​，那么求的是半球的面积， 面积S = 2πr2​，跟之前的球表面积也对上了。

球面坐标复习到这儿，下面就进入正题了。 ## 立体角

角度

在介绍立体角之前，也先做个铺垫，讲一下角度。

如上图所示，平面角，简称角度定义为圆的弧长与半径之间的比值，单位为弧度(rad)。 $$ \theta=\frac{l}{r} $$

立体角

参考平面角的定义，立体角的定义为表面积与半径平方的比值，即

$$ \Omega=\frac{S}{r^2} $$

反映的是从该点出发，向球面区域张成的视野大小，是平面角的三维扩展。

接上面计算的表面积的例子。

  1. 球的立体角 球的表面积为S = 4πr2​，球的半径为r​，立体角为$\Omega=\frac{S}{r^2}=4\pi​$，这也是最大的立体角。
  2. 球帽的立体角 球帽的表面积为2πrh，半径为r，立体角为$\Omega=\frac{S}{r^2}=2\pi h$。

需要注意的是，立体角计算也可以理解为是所形成表面在以原点为圆心的球的球面上的投影除以半径的平方。因为要计算的立体角表面不一定是球面的一部分，所以需要先投影到球面再进行计算。